Современная математика глубокого обучения

Ошибка приближения Соболева

Проект с пингвинами

Проект использует 342 записи Palmer с нужными измерениями: 240 для обучения, 102 для проверки. Выбранные примеры для обучения определяют масштабирование и параметры модели. Исходный CSV

Этот проект обучает веса с помощью softmax, в отличие от лаборатории на главной странице, где используются ближайшие средние по видам. Те же измерения пингвинов, но разные методы классификации. Предсказания могут различаться.

Приближение и глубина · Изучают ошибку приближения и размер сети при заданных условиях.

Проект содержит конечные наблюдения и обученные параметры. Проверочная выборка не устанавливает границы для генеральной совокупности и не доказывает теорему.

Рассмотрите понятие рядом с проектом: предположения источника могут отличаться. Эти наблюдения не доказывают теорему.

Вход: 12 × 2; Проверка на новых данных: 102 · #58 · 40.6 мм, 193 мм. Известный ответ: Адели; Прогноз: Адели · [≈0,7383; ≈0,2444; ≈0,01737].

Используется в разделах источника: 3.2 Простые участки и много слоёв

Теорема ограничивает наилучшую ошибку в норме, которая может включать значения функции и производные.

На (0,1) пример выбирает g(x)=x и Φ(x)=ReLU(x). Они совпадают всюду на интервале, поэтому разность — нулевая функция с нулевой нормой Соболева.

Гарантия приближения может контролировать как производные, так и значения функции.

Пример формулы источника

\inf_{\theta\in{\mathbb{R}}^{P(N)}}\|\Phi_{{a}}(\theta,\cdot)-g\|_{W^{s,p}((0,1)^{d})}\leq{\varepsilon}.

Иллюстрация · Нулевая ошибка известна аналитически для этой пары функций на (0,1), а не выведена по одной выбранной x. Пример не доказывает общую теорему.

Обозначения

$W^{s,p}$: Пространство типа Соболева с порядком ошибки s и интегрируемостью p.
$ε$: Положительная целевая точность меньше 1/2.

Пример формулы источника

Этот пример использует свои входные данные и предположения. Его изменение не меняет проект.

Измените значение или код и запустите пример. Это конечная иллюстрация, а не доказательство теоремы.

Точка xТочность ε

Поток данных в этом примере

Вы выбираете

input.x = 0,5
input.epsilon = 0,25

Начальные значения в коде

exactErrorNorm = 0

Вычисляется здесь

Выражение результата: { target, prediction, exactErrorNorm, epsilon: input.epsilon, satisfiesBound: exactErrorNorm <= input.epsilon, }

target = input.x Использует: input.x
prediction = Math.max(0, input.x) Использует: input.x

Возвращает

Пример результата

target: 0,5
prediction: 0,5
exactErrorNorm: 0
epsilon: 0,25
satisfiesBound: истина

JavaScript

Прочитайте числа из input и верните результат. Основы JavaScript.

Результат

Включите JavaScript, чтобы запустить пример.

Техническая формулировка

Источник предполагает положительные целые d,k при k≥2, p∈[1,∞], s∈[0,1], границу нормы Соболева B>0 и кусочно-линейную активацию с точкой излома. Для каждого ε∈(0,1/2) он строит архитектуру, удовлетворяющую указанной границе параметров и приближающую каждую функцию в заданном шаре W^{k,p}. Этот пример даёт лишь одну точно представленную функцию.

Источник: Выражение из статьи