Современная математика глубокого обучения

Одномерный пример уравнения в частных производных

Проект с пингвинами

Проект использует 342 записи Palmer с нужными измерениями: 240 для обучения, 102 для проверки. Выбранные примеры для обучения определяют масштабирование и параметры модели. Исходный CSV

Этот проект обучает веса с помощью softmax, в отличие от лаборатории на главной странице, где используются ближайшие средние по видам. Те же измерения пингвинов, но разные методы классификации. Предсказания могут различаться.

Уравнения и случайные процессы · Описывают дифференциальные уравнения и случайные представления.

Уравнения в частных производных и квантовые модели не являются операциями над этими измерениями пингвинов.

Рассмотрите понятие рядом с проектом: предположения источника могут отличаться. Эти наблюдения не доказывают теорему.

Вход: 12 × 2; Проверка на новых данных: 102 · #58 · 40.6 мм, 193 мм. Известный ответ: Адели; Прогноз: Адели · [≈0,7383; ≈0,2444; ≈0,01737].

Используется в разделах источника: 4.3 Когда помогает научное правило

Частная производная описывает изменение по одному входу при фиксированных остальных. Здесь t — время, x — положение.

Выберем σ = 1, μ = 0 и начальную функцию φ(x) = x². Тогда g(x,t) = x² + t даёт 1 с обеих сторон.

Источник использует такие уравнения для связи случайных процессов и нейросетевого приближения.

Пример формулы источника

\frac{\partial g}{\partial t}(x,t)=\frac{1}{2}{\operatorname{Tr}}\big(\sigma(x,t)[\sigma(x,t)]^{*}\nabla_{x}^{2}g(x,t)\big)+\langle\mu(x,t),\nabla_{x}g(x,t)\rangle,\quad g(x,0)=\varphi(x),

Иллюстрация · Проверяется одно явное одномерное решение с постоянными коэффициентами. Это не общий решатель и не доказательство результатов о приближении.

Обозначения

$g$: Функция на ℝᵈ × [0,∞); в примере d = 1.
$σ$: Матрица коэффициентов d×d; в примере скаляр 1.
$μ$: Вектор коэффициентов размера d; в примере ноль.
$φ$: Начальное условие.

Пример формулы источника

Этот пример использует свои входные данные и предположения. Его изменение не меняет проект.

Измените значение или код и запустите пример. Это конечная иллюстрация, а не доказательство теоремы.

Положение xВремя t

Поток данных в этом примере

Вы выбираете

input.t = 1
input.x = 2

Начальные значения в коде

timeDerivative = 1
secondPositionDerivative = 2

Вычисляется здесь

Выражение результата: { value, timeDerivative, positionDerivative, secondPositionDerivative, rightSide, initialValue: x * x, sigma: 1, mu: 0 }

x = input.x Использует: input.x
t = input.t Использует: input.t
value = x * x + t Использует: x, t
positionDerivative = 2 * x Использует: x
rightSide = 0.5 * secondPositionDerivative Использует: secondPositionDerivative

Возвращает

Пример результата

value: 5
timeDerivative: 1
positionDerivative: 4
secondPositionDerivative: 2
rightSide: 1
initialValue: 4
sigma: 1
mu: 0

JavaScript

Прочитайте числа из input и верните результат. Основы JavaScript.

Результат

Включите JavaScript, чтобы запустить пример.

Техническая формулировка

Источник задаёт линейное уравнение Колмогорова с начальным значением g(x,0) = φ(x), непрерывными коэффициентами и подходящими условиями роста. Полное выражение включает след матрицы, пространственный градиент и гессиан; в одном измерении они сводятся к операциям примера.

Источник: Выражение из статьи