เมื่อมีข้อมูลเข้ามากมาย

ภาพถ่ายอาจมีค่าพิกเซลหลายพันค่า แต่ภาพที่เราสนใจไม่ใช่การจัดเรียงค่าพิกเซลทุกแบบ ลองพิจารณาป้ายห้าช่องที่มีช่องสว่างหนึ่งช่องซึ่งเลื่อนไปทางซ้ายหรือขวาได้

ให้แต่ละพิกัดมีค่าที่เป็นไปได้สิบค่า คูณจำนวนตัวเลือกสิบค่าสำหรับทุกพิกัด

function gridPoints(choices, dimensions) {
  return { points: choices ** dimensions };
}
const result = gridPoints(10, 3);

ป้ายมีตัวเลขห้าตัว แต่มีรูปแบบได้เพียงห้าแบบ ตามตำแหน่งที่สว่าง ตัวเลือกห้าแบบที่แยกจากกันไม่ใช่เส้นเรียบ ทีนี้เปลี่ยนตัวอย่างให้ปุ่มปรับความสว่างหนึ่งปุ่มเปลี่ยนตัวเลขทั้งห้าพร้อมกัน และปรับได้ทุกค่าในช่วงหนึ่ง ภาพเหล่านั้นจึงเป็นเส้นต่อเนื่อง

ปุ่มปรับความสว่างหนึ่งปุ่มตั้งพิกเซลทั้งห้าให้มีค่าเท่ากัน ภาพต้องใช้ตัวเลขห้าตัวอธิบาย แต่เราเลือกได้อิสระเพียงตัวเดียว เมื่อ t เปลี่ยนต่อเนื่อง ภาพเหล่านี้เรียงเป็นเส้น เส้นนี้มีมิติภายในเท่ากับ 1 เพราะใช้ตัวเลขอิสระเพียงตัวเดียวระบุภาพบนเส้นได้

function sharedBrightness(brightness, count) {
  return { pixels: Array(count).fill(brightness), controls: 1 };
}
const result = sharedBrightness(2, 5);

บทความเรียกสิ่งนี้ว่าสมมติฐานแมนิโฟลด์ หากข้อมูลเข้าจริงส่วนใหญ่อยู่บนพื้นผิวเรียบที่มีมิติต่ำกว่า การเรียนรู้กฎบนพื้นผิวนั้นอาจเพียงพอ แทนที่จะเรียนรู้ทุกชุดค่าพิกเซลที่เป็นไปได้

นี่เป็นสมมติฐานเกี่ยวกับข้อมูล ไม่ใช่คุณสมบัติที่รับประกันสำหรับภาพทั้งหมด การสร้างในทฤษฎีบททำงานเฉพาะที่บนส่วนต่าง ๆ ของพื้นผิวแล้วรวมส่วนเหล่านั้น

อีกวิธีสร้างค่าประมาณจากกฎเล็ก ๆ หลายข้อ โดยเลือกกฎและน้ำหนักสำหรับเป้าหมายที่ต้องการประมาณโดยเฉพาะ

สำหรับเป้าหมายหนึ่ง บทความสร้างส่วนร่วมเล็ก ๆ g_j ที่รวมน้ำหนักไว้แล้ว สมมติว่าเมื่อใส่ข้อมูลชุดหนึ่ง ส่วนร่วมสามข้อให้ 1, 2 และ 3 เลือกสองข้อแรกแล้วหาค่าเฉลี่ย

function sampleAverage(values, count) {
  if (!Number.isInteger(count) || count <= 0 || count > values.length) {
    throw new Error('จำนวนต้องเป็นจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึงความยาวรายการ');
  }
  let total = 0;
  for (let index = 0; index < count; index++) total += values[index];
  return { average: total / count };
}
const result = sampleAverage([1, 2, 3], 2);

ในการคำนวณข้างต้น การเลือก 1 และ 2 ให้ (1 + 2)/2 = 1.5 กิจกรรมกระถางดอกไม้ก็หาค่าเฉลี่ยจากค่าที่เลือก กระถางช่วยให้เห็นว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอาจต่างจากทั้งกลุ่ม และการเพิ่มกระถางไม่จำเป็นต้องทำให้ประมาณได้ใกล้ขึ้นทุกครั้ง นี่แสดงวิธีหาค่าเฉลี่ย ไม่ใช่การรับประกันการประมาณของบทความ

บทความให้เพดานของค่าคาดหมายความผิดพลาดกำลังสอง จำนวน C_g อธิบายเป้าหมายที่เลือก ไม่ใช่ปุ่มที่ทำให้ทุกปัญหาง่าย ในการคำนวณนี้เลือก C_g = 4 และกฎย่อย n = 4 กฎ สัญลักษณ์ π คือค่าคงที่ของวงกลม มีค่าประมาณ 3.1416

function errorBound(targetComplexity, numberOfTerms) {
  const squaredErrorBound = (2 * Math.PI * targetComplexity) ** 2
    / numberOfTerms;
  return { squaredErrorBound };
}
const result = errorBound(4, 4);

ขอบเขตบนข้างต้นใช้กับค่าคาดหมายของความผิดพลาดยกกำลังสอง และลดลงตาม 1/n เมื่อนำขอบเขตนี้มาถอดรากที่สอง จะได้ขอบเขตของค่ารากกำลังสองเฉลี่ยของความผิดพลาด คือหาค่าเฉลี่ยของความผิดพลาดยกกำลังสองแล้วถอดรากที่สอง ขอบเขตนี้ลดลงตาม 1/√n บทความต้องมีเงื่อนไขเกี่ยวกับการแทนเป้าหมายด้วยฟูเรียร์ ซึ่งเป็นวิธีเขียนกฎเป็นส่วนผสมของคลื่น ค่าคงที่ขึ้นอยู่กับเป้าหมาย

เมื่อ C_g = 4 และ n = 4 เพดาน (2πC_g)²/n มีค่าประมาณ 157.91 ถ้าใช้ 16 พจน์ เพดานนี้จะหารด้วยสี่ เหลือประมาณ 39.48 ภายใต้เงื่อนไขของทฤษฎีบท ค่าคาดหมายความผิดพลาดกำลังสองจะไม่เกินเพดาน แต่ความผิดพลาดของตัวอย่างที่สุ่มมาแต่ละครั้งไม่จำเป็นต้องลดลงทุกครั้งที่เพิ่มพจน์

บางครั้งปัญหายากเพราะมีค่าที่เปลี่ยนแปลงจำนวนมาก แต่กฎของปัญหามาจากสมการทางวิทยาศาสตร์ เช่น สมการความร้อนบอกว่าอุณหภูมิแพร่กระจายอย่างไร

ลองนึกถึงแท่งโลหะที่รู้ค่าอุณหภูมิเริ่มต้นทุกตำแหน่ง เพื่อประมาณอุณหภูมิภายหลัง ณ ตำแหน่งหนึ่ง สูตรเริ่มเส้นทางสุ่มที่ตำแหน่งนั้นแล้วอ่านอุณหภูมิเริ่มต้นที่ปลายแต่ละเส้นทาง เส้นทางเหล่านี้เป็นตัวอย่างทางคณิตศาสตร์ ไม่ได้กล่าวว่าความร้อนเคลื่อนย้อนกลับจริง

ในสูตรของบทความ g(x,t) คือค่าภายหลัง φ คืออุณหภูมิเริ่มต้น S คือจุดปลายของเส้นทางสุ่ม และ n คือจำนวนเส้นทางตัวอย่าง ตัวอย่างนี้ให้จุดปลายมีอุณหภูมิเริ่มต้น 2 และ 4 องศา

function averageTemperature(first, second) {
  return { sampleAverage: (first + second) / 2 };
}
const result = averageTemperature(2, 4);

สมมติว่าเส้นทางสุ่มสองเส้นสิ้นสุดที่ตำแหน่งซึ่งมีอุณหภูมิเริ่มต้น 2°C และ 4°C ค่าเฉลี่ยคือ (2 + 4)/2 = 3°C ใช้อุณหภูมิเริ่มต้นที่ปลายเส้นทางเพื่อประมาณอุณหภูมิภายหลังตรงจุดเริ่มเส้นทาง ตำแหน่งเองไม่ใช่อุณหภูมิ

บทความเรียกวิธีที่เกี่ยวข้องในการเขียนคำตอบของสมการบางชนิดว่าการแทนแบบไฟน์แมน–แคค เครือข่ายสามารถประมาณเส้นทาง อุณหภูมิเริ่มต้น และค่าเฉลี่ยได้ สำหรับสมการและเงื่อนไขเฉพาะที่ศึกษา วิธีนี้บางครั้งเลี่ยงต้นทุนที่เพิ่มแบบเลขชี้กำลังตามจำนวนตัวป้อนได้ เส้นทางสุ่มสองเส้นช่วยอธิบายแนวคิด แต่ไม่ได้แก้ปัญหาทางฟิสิกส์